تا اینجا درباره سرعت متوسط و سرعت لحظوی صحبت کردیم.

اما اگر سرعت جسم تغییر کند، چه؟

فرض کنید موترک ابتدا با سرعت 1m/s حرکت کند و چند ثانیه بعد سرعت آن به 4m/s برسد.

در این حالت، سرعت تغییر کرده است.

برای اندازه‌گیری مقدار تغییر سرعت در واحد زمان، از مفهوم تعجیل استفاده می‌کنیم.

1 – تعریف تعجیل

تعجیل نشان می‌دهد سرعت یک جسم با چه اندازه‌ی تغییر می‌کند.

تعجیل متوسط از رابطه زیر بدست می‌آید:

• تعجیل متوسط: (ā)
• سرعت ابتدایی: (v₀)
• سرعت نهایی: (v₁)
• زمان تغییر سرعت ابتدایی: (t₀)
• زمان تغییر سرعت نهایی: (t₁)

واحد تعجیل در سیستم بین‌المللی(SI) برابر است با: m/s²

2 – مفهوم فیزیکی واحد تعجیل

بطور مثال اگر تعجیل جسم با 2m/s² برابر باشد.

مثلاً: در این مثال، سرعت در هر ثانیه  افزایش پیدا کرده است.

بنابرین:

یعنی سرعت جسم در هر ثانیه، به طور متوسط 2 متر بر ثانیه تغییر می‌کند.

3 – تجربه تعجیل متوسط

برای بررسی تجربی تعجیل متوسط، می‌توانیم از موترک روی سطح مایل استفاده کنیم.

در نقاط مختلف مسیر، زمان رسیدن موترک را ثبت می‌کنیم. سپس برای هر انتروال، سرعت متوسط را محاسبه می‌کنیم.

برای مثال:

و

بعد تغییر سرعت را محاسبه می‌کنیم:

Δv = v₁ – v₀

و در نهایت تعجیل متوسط را چنین داریم:

به این ترتیب، شاگردان می‌توانند از اندازه‌‌گیری‌های تجربی به مفهوم تعجیل پی ببرند.

در این ویدیو نیز با استفاده از یک فعالیت عملی آموزشی به تشریح موضوع تعجیل متوسط پرداخته شده است.

گراف سرعت – زمان

در گراف  سرعت ـ زمان:

• محور افقی زمان است.
• محور عمودی سرعت است.

میل گراف سرعت ـ زمان نشان‌دهنده تعجیل است.

بنابرین اگر سرعت با زمان افزایش پیدا کند، تعجیل مثبت است طوریکه در گراف بالا نمایش داده شده است. اگر گراف افقی باشد، سرعت ثابت است و تعجیل صفر است.

اگر سرعت کاهش پیدا کند، بسته به جهت حرکت و قرارداد علامت، تعجیل می‌تواند منفی باشد.

مثال عددی و تحلیل گراف آن: اگر سرعت یک موترک در طول 10 ثانیه تغییر ‌کند. چگونه گراف تعجیل آنرا در انتروال‌های: از 0 تا 4 ثانیه ، از 4 تا 6 ثانیه و از 6 تا 10 ثانیه را رسم کنیم؟

الف-افزایش تعجیل: در انتروال  0 تا 4 ثانیه، سرعت از 0 به 8m/s افزایش می‌یابد، تعجیل متوسط را درین انتروال محاسبه کنید:

حل:

با قرار دادن قیمت‌ها:

یعنی سرعت موترک در این انتروال، در هر ثانیه به طور متوسط 2m/s² افزایش پیدا می‌کند.

ب- قسمت افقی گراف یا (تعجیل ثابت): در انتروال 4 تا 6 ثانیه، سرعت موترک ثابت و برابر با 8m/s است.

پس:

بنابرین وقتی گراف سرعت ـ زمان افقی باشد، تعجیل صفر است.

ج – کاهش سرعت: در انتروال  6 تا 10 ثانیه، سرعت از 8m/s به 4m/s کاهش می‌یابد.

علامت منفی نشان می‌دهد که سرعت در حال کاهش است، با فرض اینکه جهت مثبت حرکت همان جهت اولیه باشد.

نتیجه‌ای که شاگردان باید از گراف بگیرد:

حال با توجه به گراف فوق، میل گراف سرعت ـ زمان، تعجیل را نشان می‌دهد.

تعجیل لحظوی (Instantaneous acceleration)

همان‌طور که سرعت متوسط نمی‌تواند سرعت یک لحظه مشخص را نشان دهد، تعجیل متوسط نیز نمی‌تواند همیشه تعجیل جسم را در یک لحظه مشخص نشان دهد.

ممکن است تعجیل جسم در طول حرکت تغییر کند.

بنابرین می‌توانیم بپرسیم:

تعجیل جسم در یک لحظه مشخص چقدر است؟

پاسخ این سؤال، تعجیل لحظوی است.

1- تعریف تعجیل لحظوی

تعجیل لحظوی، نرخ تغییر سرعت در یک لحظه مشخص است.

فعالیت: مسابقه دویش

هدف: شاگردان با انجام دادن و دیدن این حرکت، تفاوت بین تغییر موقعیت (سرعت) و تغییر خودِ سرعت (تعجیل) را بصورت عملی درک می‌کنند.

وسایل مورد نیاز:

• یک متر نواری یا تباشیر
• یک کرونومتر یا تایمر موبایل

مراحل اجرای فعالیت در صنف یا صحن مکتب

1. علامت‌گذاری مسیر:

روی زمین صحن مکتب یک خط مستقیم 5 تا 10 متری بکشید و هر 1 متر را با تباشیر علامت بگذارید.

(۰ متر، ۱ متر، ۲ متر، …)

حالت اول: سرعت ثابت(تعجیل صفر)

از یک شاگرد بخواهید نقش «موتر» را بازی کند. او باید مسیر را با گام‌های کاملاً یک‌اندازه و منظم قدم بزند.

نتیجه: در هر ثانیه فاصله مشخصی پیموده می‌شود. در اینجا سرعت وجود دارد، اما تعجیل صفر است چون سرعت تغییری نمی‌کند.

حالت دوم: تعجیل مثبت (افزایش سرعت)

از شاگردی بخواهید حرکت را شروع کند: ثانیه اول بسیار آهسته، ثانیه دوم تیزتر، و ثانیه سوم شروع به دویدن کند.

نتیجه: سرعت لحظه ‌به ‌لحظه زیادتر می‌شود. تغییر کردن سرعت در طول زمان، همان تعجیل است.

حالت سوم: تعجیل منفی (کاهش سرعت یا توقف)

شاگرد در حال دویدن است، از او می‌خواهیم که سرعت خود را کم کند.

نتیجه: کم شدن سرعت در طول زمان نیز نوعی تعجیل (تعجیل منفی یا کند شونده) است.

مقایسه کلیدی برای خلاصه‌نویسی روی تخته:

حال از نظر ریاضی تعجیل لحظه‌ای را چنین تعریف میکنیم:

یعنی تعجیل لحظوی، لمیت تعجیل متوسط است وقتی انتروال زمانی به صفر نزدیک می‌شود.

در زبان ریاضی می‌توان آن را به شکل زیر نیز نوشت:

یعنی تعجیل لحظه‌ای مساویست به نسبت مشتق اول تابع سرعت به انتروال زمانی تغییر سرعت.

دراینجا مشتق اول تابع سرعت نظر به زمان است.

2 – ارتباط سرعت لحظه‌ای و تعجیل لحظه‌ای

• سرعت لحظه‌ای از مشتق اول موقعیت نسبت به زمان، یا به‌ عبارت دیگر، از لیمت سرعت متوسط در انتروال زمانی بسیار کوچک، بدست می‌آید.

• شتاب لحظه‌ای از مشتق اول سرعت نسبت به زمان، یعنی از نرخ تغییر سرعت نسبت به زمان، بدست می‌آید.

یعنی:

سرعت لحظه‌ای = مشتق اول موقعیت نسبت به زمان
شتاب لحظه‌ای = مشتق اول سرعت نسبت به زمان

3 – گراف تعجیل ـ زمان

این گراف نشان می‌دهد تعجیل جسم در طول زمان چگونه تغییر می‌کند.

اگر تعجیل ثابت باشد، گراف تعجیل ـ زمان یک خط افقی خواهد بود.

یک مثال جامع: فرض کنیم موقعیت یک موترک در زمان‌های مختلف بصورت زیر اندازه‌گیری شده است:

ابتدا تغییر موقعیت را بررسی می‌کنیم.

سپس سرعت متوسط را برای انتروال‌های مختلف محاسبه می‌کنیم.

برای مثال بین 0 و 3 ثانیه:

v = 9m/3s = 3m/s

بنابرین:

v = 3m/s

اما این عدد به ما نمی‌گوید سرعت موترک در ثانیه اول، دوم یا سوم دقیقاً چه مقدار بوده است.

برای فهمیدن رفتار سرعت، باید انتروال‌های زمانی کوچک‌تر را بررسی کنیم.

این دقیقاً همان جایی است که مفهوم سرعت لحظوی وارد می‌شود.

اگر سرعت نیز در طول زمان تغییر کند، می‌توانیم تغییر سرعت را بررسی کرده و تعجیل متوسط و سپس تعجیل لحظوی را بدست آوریم.

گراف تعجیل ـ زمان چه چیزی را بیان می‌کند؟

محور افقی (زمان) و محور عمودی (تعجیل) است.

مثلاً اگر بگوییم:

a = 2m/s²

یعنی در هر یک ثانیه، سرعت موترک ۲ متر بر ثانیه افزایش پیدا می‌کند.

پس اگر موترک از حالت سکون شروع کند:

در این حالت گراف تعجیل ـ زمان یک خط افقی در a = 2m/s² است، چون تعجیل در تمام مدت ثابت است.

نکته:

درین سه گراف که قبلا روی هر یکی بحث شد، موارد که مهم است:

• گراف x _ t :  میل = سرعت
• گراف v _ t  :  میل = تعجیل
• گراف a _ t : خودِ ارتفاع گراف = تعجیل

یعنی در گراف تعجیل ـ زمان، خود تعجیل است. مقدار عمودی گراف در هر لحظه، تعجیل همان لحظه را نشان می‌دهد.

مساحت زیر گراف a _ t = تغییر سرعت Δv 

بنابرین اگر در 5 ثانیه تعجیل a = 2m/s² باشد:

Δv = 2 × 5 = 10 m/s

یعنی سرعت موترک در این 5 ثانیه 10 متر بر ثانیه تغییر کرده است.

بدین ترتیب، شاگردان می‌توانند از اندازه‌‌گیری‌های تجربی به مفهوم تعجیل لحظه‌ای پی ببرند.

در این ویدیو نیز به تشریح عملی تعجیل لحظه‌ای پرداخته شده است.

خلاصه موارد که تا فعلا به توضیح آن‌ها پرداختیم:

حرکت یک‌بُعدی را می‌توان با استفاده از موقعیت و زمان مطالعه کرد.

از نسبت تغییر موقعیت به زمان، سرعت را به دست می‌آوریم:

وقتی انتروال زمانی را بسیار کوچک کنیم، به مفهوم سرعت لحظوی می‌رسیم:

سپس برای بررسی تغییر سرعت، تعجیل متوسط را تعریف می‌کنیم:

و با کوچک کردن انتروال زمانی، به تعجیل لحظه‌ای می‌رسیم:

و از نظر ریاضی: تعجیل عبارت از مشتق اول تابع سرعت نظر به زمان است.