برای اینکه رابطهٔ میان زمان و ارتفاع را بهتر مطالعه کرده بتوانیم، از معادلات حرکت با شتاب ثابت استفاده می‌کنیم.

فرض کنیم جسمی از حالت سکون رها و از مقاومت هوا صرف‌نظر شود.

در این حالت، سرعت اولیهٔ جسم صفر است:

v₀ = 0

معادلهٔ عمومی سرعت در حرکت با شتاب ثابت چنین است:

v = v₀ + at

با قرار دادن (0 = v₀) و (a = g)، به دست می‌آوریم:

v = gt

درین رابطه:

• (v₀) سرعت اولیه، بر حسب متر بر مربع زمان
• (a): شتاب بر حسب متر بر مربع زمان
• (v): سرعت نهایی بر حسب متر بر مربع زمان

این رابطه نشان می‌دهد که سرعت جسم با گذشت زمان بصورت خطی افزایش می‌یابد.

برای محاسبهٔ ارتفاع، از رابطهٔ زیر استفاده می‌کنیم:

چون جسم از حالت سکون رها شده است، یعنی v₀=0

بنابرین:

این رابطه:

• (h): فاصله عمودی طی‌شده در هنگام سقوط، بر حسب متر
• (g): شتاب جاذبهٔ زمین، بر حسب متر بر مربع زمان
• (t): زمان سقوط، بر حسب ثانیه

نتیجهٔ مهم: ارتفاع با مربع زمان متناسب است؛ یعنی اگر زمان سقوط دو برابر شود، ارتفاع چهار برابر می‌شود.

 h α t² (نسبت ارتفاع و مربع زمان )

این نتیجه را می‌توان با جدول، گراف و مثال‌های عددی مطالعه کرد.

جدول مسافت و زمان سقوط

فرض کنیم جسمی از حالت سکون سقوط می‌کند و g = 9.81m/s² باشد.

با استفاده از رابطهٔ

جدول ذیل را به دست می‌آوریم:

از جدول مشاهده می‌کنیم که ارتفاع در فاصله‌های زمانی مساوی، افزایش یکسانی ندارد.

برای مثال:

• در ثانیهٔ اول، جسم 5 متر سقوط می‌کند.
• در 2 ثانیهٔ نخست، مجموع ارتفاع 20 متر است.
• در 3 ثانیهٔ نخست، مجموع ارتفاع 45 متر است.

این جدول نشان می‌دهد که ارتفاع با مربع زمان تغییر می‌کند.

h α t²

گراف ارتفاع برحسب زمان

اگر ارتفاع (h) را روی محور عمودی و زمان (t) را روی محور افقی رسم کنیم، گراف آن یک خط مستقیم نخواهد بود، بلکه شکل منحنی یا پارابولیک خواهد داشت.

علت این است که مسافت سقوط با مربع زمان متناسب است.

فرمول این رابطه چنین است:

h = (g × t²) / 2

بنابرین، گراف ارتفاع بر حسب زمان، خط مستقیم نیست؛ بلکه یک منحنی پارابولیک است.

هر چه زمان بیشتر شود، مسافت طی‌ شده در هر ثانیه نیز افزایش می‌یابد.

گراف ارتفاع برحسب مربع زمان

اگر بجای زمان، مقدار مربع زمان را روی محور افقی(X) قرار دهیم و ارتفاع را روی محور عمودی(Y) رسم کنیم، گراف به شکل یک خط مستقیم در می‌آید.

با استفاده از داده‌های جدول قبلی داریم که:

رابطهٔ مورد استفاده چنین است:

در این گراف، شیب خط برابر با نصف شتاب جاذبه است.

بنابرین:

 g / 2 = میل

و برای محاسبهٔ شتاب جاذبه:

میل × g = 2 

از این روش می‌توان برای تعیین تقریبی شتاب جاذبه از داده‌های تجربی استفاده کرد.

مثال اول: محاسبهٔ سرعت سقوط

سوال: جسمی از حالت سکون رها می‌شود. سرعت آن پس از 3 ثانیه چقدر است؟ فرض کنید g = 10 m/s² باشد.

g = 10 m/s²

t = 3 s

فرمول:

v = g × t

محاسبه:

v = 10 × 3

نتیجه:

v = 30 m/s

جواب: سرعت جسم پس از 3 ثانیه برابر با 30 متر بر ثانیه و جهت آن به طرف پایین است.

 مثال دوم: محاسبهٔ ارتفاع

سوال: جسمی از حالت سکون سقوط می‌کند. اگر زمان سقوط 4 ثانیه و شتاب جاذبه 10m/s² باشد، جسم چه مسافتی را طی می‌کند؟

داده‌ها:

t = 4 s

g = 10 m/s²

فرمول:

h = (g × t²) / 2

محاسبه:

h = (10 × 4²) / 2

ابتدا:

 16 = 4²

سپس:

h = (10 × 16) / 2

h = 160 / 2

نتیجه:

h = 80 m

جواب: جسم در مدت 4 ثانیه، 80 متر سقوط می‌کند.

مثال سوم: محاسبهٔ زمان سقوط

سوال جسمی از ارتفاع 45 متر رها می‌شود. اگر شتاب جاذبه 10m/s² باشد، جسم پس از چند ثانیه به زمین می‌رسد؟

داده‌ها:

h = 45 m

g = 10 m/s²

فرمول:

محاسبه:

نتیجه:

t = 3 s

جواب: جسم پس از 3 ثانیه به زمین می‌رسد.

در این ویدیو نیز به تشریح و تجربه عملی سقوط آزاد پرداخته شده است.