برای استخراج معادلات حرکت، فرض می‌کنیم جسم از سطح زمین پرتاب می‌شود و دوباره به همان سطح باز می‌گردد. مقاومت هوا را نادیده می‌گیریم و محور عمودی را به طرف بالا مثبت انتخاب می‌کنیم.

1. معادلهٔ حرکت افقی

از آنجا که شتاب افقی صفر است:

a_x = 0

سرعت افقی ثابت می‌ماند:

v_x = v_0x

با توجه به رابطهٔ تجزیهٔ سرعت:

v_x = v₀ cosθ

معادلهٔ موقعیت افقی:

x = x₀ + v_0xt

اگر نقطهٔ پرتاب را مبدأ انتخاب کنیم، x = 0 است. بنابرین:

x = v₀ cosθ t

2. معادلهٔ حرکت عمودی

در جهت عمودی:

a_y = -g

سرعت عمودی در زمان t :

v_y = v_0y -gt

با وضع کردن قیمت داریم که:

v_0y = v₀ sinθ

v_y = v₀ sinθ – gt

معادلهٔ موقعیت عمودی:

اگر مبدأ را در نقطهٔ پرتاب انتخاب کنیم، y₀ = 0 است. پس:

این معادله نشان می‌دهد که در ابتدا، مؤلفهٔ عمودی سرعت باعث بالا رفتن جسم می‌شود. سپس، با اثر جاذبه، سرعت عمودی کاهش می‌یابد.

در بالاترین نقطهٔ مسیر، سرعت عمودی لحظه‌ای صفر می‌شود.

محاسبهٔ زمان پرتاب، ارتفاع نقطه اوج و بُرد افقی، این سه کمیت از مهم‌ترین نتایج حرکت پرتاب مایل هستند.

3. زمان رسیدن به بالاترین نقطه

در بالاترین نقطه، سرعت عمودی صفر است:

v_y = 0

از معادلهٔ سرعت عمودی داریم:

0 = v₀ sinθ – gt

پس:

v₀ sinθ = -gt

در نتیجه:

4. زمان کل پرتاب

اگر جسم از سطح زمین پرتاب شود و در همان ارتفاع فرود آید، زمان بالا رفتن با زمان پایین آمدن برابر است.

بنابرین:

T_اوج = 2t

در نتیجه:

این فرمول فقط زمانی به همین شکل ساده معتبر است که ارتفاع آغاز و پایان برابر باشد و مقاومت هوا ناچیز باشد.

اگر ارتفاع پرتاب و فرود متفاوت باشد، باید معادلهٔ عمودی را با ارتفاع نهایی حل کنیم.

5. ارتفاع نقطه اوج

برای محاسبهٔ ارتفاع نقطه اوج، از معادلهٔ زیر استفاده می‌کنیم:

y = v₀ sinθ t -1/2 gt²

در بالاترین نقطه:

با وضع این قیمت در معادلهٔ ارتفاع داریم که:

با ساده‌سازی آن:

پس:

این ارتفاع نسبت به نقطهٔ پرتاب اندازه‌گیری می‌شود.

6. بُرد افقی

بُرد افقی، فاصلهٔ افقی میان نقطهٔ پرتاب و نقطهٔ برخورد به زمین است.

از رابطهٔ حرکت افقی داریم:

R = v₀ cosθ T

با وضع زمان کل:

پس:

با استفاده از رابطهٔ مثلثاتی:

2sinθ cosθ = sin 2θ

به رابطهٔ نهایی می‌رسیم:

این رابطه زمانی معتبر است که ارتفاع پرتاب و برخورد به زمین برابر باشند و مقاومت هوا نادیده گرفته شود.

مثال: پرتاب مایل از سطح زمین

سوال : توپی با سرعت اولیهٔ 20m/s و زاویهٔ °30 نسبت به افق پرتاب می‌شود. با فرض g=10m/s²، مدت زمان پرتاب، ارتفاع نقطه اوج و بُرد افقی را محاسبه کنید.

معلومات داده شده:

v₀ = 20m/s

θ = 30°

g = 10m/s2

مقادیر مثلثاتی:

sin 30° = 0.5

cos 30° ≈ 0.866

مرحلهٔ اول: برای محاسبهٔ زمان کل پروازاز فرمول زیر استفاده می‌کنیم.

بنابرین:

T = 2s

مرحلهٔ دوم: محاسبهٔ ارتفاع نقطه اوج(بلندترین نقطه)

با وضع کردن آن به معادله قبلی داریم که:

پس توپ نسبت به نقطهٔ پرتاب تا ارتفاع 5 متر بالا می‌رود.

مرحله سوم: محاسبهٔ برد افقی (نقطه تیر رأس)

چون:

2θ = 60°

داریم:

با توجه به اینکه:

sin 60° ≈ 0.866

پس:

در نتیجه:

R ≈ 34.64m

نتیجه نهایی

مثال : پرتاب مایل با زاویهٔ °45

سوال:  جسمی با سرعت اولیهٔ 14m/s و زاویهٔ °45 نسبت به افق پرتاب می‌شود. با فرض g = 9.8m/s²، زمان کُل پرتاب، ارتفاع نقطه اوج و بُرد افقی را محاسبه کنید.

مرحلهٔ اول: زمان پرتاب

با توجه به اینکه:

داریم:

T ≈ 19.8/9.8

پس:

T ≈ 2.02s

مرحلهٔ دوم: ارتفاع نقطه اوج

چون:

داریم :

مرحله سوم: بُرد افقی

با توجه به اینکه:

2θ = 90°

و :

sin 90° = 1

داریم:

R = 14²/9.8

R = 196/9.8

پس:

R = 20m

جواب نهایی

زمان پرواز: تقریباً 2.02 ثانیه

ارتفاع نقطه اوج : 5 متر

بُرد افقی: 20 متر

تأثیر زاویهٔ پرتاب بر بُرد افقی

از رابطهٔ بُرد افقی داریم:

اگر سرعت اولیه و تعجیل جاذبه زمین ثابت باشند، برد افقی به مقدار sin 2θ بستگی دارد.

بیشترین مقدار ساین یک زاویه مساوی به یک است:

sin 90° = 1

بنابراین، در شرایط ایده‌آل:

2θ = 90°

پس:

θ = 45°

در نتیجه، اگر جسم از سطح زمین پرتاب شود و به همان ارتفاع برگردد، زاویهٔ °45 بیشترین برد افقی را ایجاد می‌کند.

مقایسهٔ زاویه‌های مکمل

دو زاویه را مکمل می‌نامیم اگر مجموع آن‌ها °90 باشد؛ برای مثال، °30 و °60 .

برای این دو زاویه:

2(30°) = 60°

2(60°) = 120°

و :

sin 60° = sin 120°

پس با سرعت اولیهٔ یکسان، بُرد افقی در دو زاویهٔ °30 و °60 برابر است.

اما ارتفاع نقطه اوج در زاویهٔ °60 بیشتر خواهد بود؛ زیرا مؤلفهٔ عمودی سرعت اولیه بزرگ‌تر است.

توجه:  زاویهٔ °45 همیشه بیشترین برد را ایجاد نمی‌کند. این نتیجه برای شرایط ایده‌آل، با ارتفاع آغاز و پایان برابر و با صرف‌نظر از مقاومت هوا، درست است. اگر جسم از ارتفاع بلندی پرتاب شود یا مقاومت هوا قابل توجه باشد، زاویهٔ مناسب می‌تواند متفاوت باشد.

مقایسهٔ پرتاب افقی و پرتاب مایل