اکنون می‌خواهیم با استفاده از معادلات حرکت، رابطه‌های ریاضی پرتاب افقی را به دست آوریم.

فرض کنید جسمی از ارتفاع h با سرعت افقی v₀ پرتاب شده باشد.

مبدأ مختصات را در نقطهٔ پرتاب انتخاب می‌کنیم. محور x به طرف راست و محور y به طرف بالا مثبت است.

در نتیجه، موقعیت اولیهٔ جسم برابر است با:

X₀ = 0

y₀ = 0

سطح زمین در این دستگاه مختصات در موقعیت زیر قرار دارد:

y = -h

1 . حرکت در جهت افقی

معادلهٔ عمومی موقعیت در حرکت با شتاب ثابت چنین است:

چون در جهت افقی شتاب صفر است:

a_x = 0

و با توجه به اینکه x₀ = 0 و v_0x = v₀، خواهیم داشت:

x = v₀t

این رابطه نشان می‌دهد که مسافت افقی طی‌شده با زمان متناسب است.

هرقدر زمان حرکت بیشتر باشد، جسم مسافت افقی بیشتری طی می‌کند.

سرعت افقی نیز ثابت است:

v_x = v₀

2. حرکت در جهت عمودی

در جهت عمودی، جسم با سرعت اولیهٔ عمودی صفر حرکت می‌کند و شتاب آن برابر با g- است.

معادلهٔ موقعیت عمودی:

با جای‌گذاری مقادیر:

بنابرین:

این رابطه نشان می‌دهد که جابه‌جایی عمودی جسم با مربع زمان متناسب است.

یعنی اگر زمان سقوط دو برابر شود، جابه‌جایی عمودی جسم چهار برابر می‌شود.

سرعت عمودی جسم نیز از رابطهٔ زیر به دست می‌آید:

 v_y = -gt

علامت منفی نشان می‌دهد که سرعت عمودی به طرف پایین است.

3. محاسبهٔ زمان سقوط

هنگامی که جسم به زمین می‌رسد:

y = -h

از معادلهٔ حرکت عمودی داریم:

با حذف علامت منفی:

پس

و در نهایت:

این فرمول زمان لازم برای سقوط جسم از ارتفاع را نشان می‌دهد.

نکتهٔ مهم: زمان سقوط به ارتفاع و شتاب گرانش بستگی دارد، نه به سرعت اولیهٔ افقی.

4. محاسبهٔ بُرد افقی

بُرد افقی، فاصلهٔ افقی میان نقطهٔ پرتاب و نقطهٔ برخورد جسم با زمین است.

از رابطهٔ حرکت افقی داریم:

x = v₀t

در لحظهٔ برخورد، x= R است بنابرین:

R = v₀t

با جای‌گذاری زمان سقوط:

این رابطه نشان می‌دهد که برد افقی با سرعت اولیه متناسب است. همچنین، در شرایط یکسان، افزایش ارتفاع پرتاب باعث افزایش برد افقی می‌شود.

مثال 1: محاسبهٔ زمان سقوط و برد افقی

سوال:  توپی از بالای میزی به ارتفاع 1.25 متر با سرعت افقی 4 متر بر ثانیه پرتاب می‌شود. زمان رسیدن توپ به زمین و برد افقی آن را محاسبه کنید.

مقاومت هوا را نادیده بگیرید و g = 10m/s² در نظر بگیرید.

معلومات داده شده:

h = 1.25m

v₀ = 4m/s

g = 10m/s²

مرحلهٔ اول: محاسبهٔ زمان سقوط

از رابطهٔ زیر استفاده می‌کنیم:

مقادیر را جای‌گذاری می‌کنیم:

بنابرین:

t = 0.5s

توپ پس از نیم ثانیه به زمین می‌رسد.

مرحلهٔ دوم: محاسبهٔ بُرد افقی

از رابطهٔ زیر استفاده می‌کنیم:

R = v₀t

R = 4(0.5)

در نتیجه:

R = 2m

جواب نهایی

زمان سقوط : 0.5 ثانیه

بُرد افقی: 2 متر

مثال 2: محاسبهٔ سرعت جسم هنگام برخورد

سوال: جسمی از ارتفاع 20 متر با سرعت افقی 6 متر بر ثانیه پرتاب می‌شود. سرعت افقی، سرعت عمودی و اندازهٔ سرعت جسم هنگام برخورد با زمین را محاسبه کنید.

فرض کنید g = 10m/s² و مقاومت هوا قابل صرف‌نظر باشد.

h = 20m

v₀ = 6m/s

g = 10m/s²

v_x = ؟

v_y = ؟

v = ؟

مرحلهٔ اول: محاسبهٔ زمان سقوط

پس:

t = 2s

مرحلهٔ دوم: سرعت افقی هنگام برخورد

چون شتاب افقی صفر است، سرعت افقی تغییر نمی‌کند:

v_x = v₀

v_x = 6m/s

مرحلهٔ سوم: سرعت عمودی هنگام برخورد

از رابطهٔ زیر استفاده می‌کنیم:

v_y = -gt

v_y = – 10m/s²  × 2s

پس:

v_y = – 20m/s

علامت منفی نشان می‌دهد که سرعت عمودی به طرف پایین است.

مرحلهٔ چهارم: محاسبهٔ اندازهٔ سرعت

سرعت افقی و عمودی بریکدیگر عمود هستند. بنابرین، اندازهٔ سرعت کُل از قضیهٔ فیثاغورس بدست می‌آید:

در نتیجه:

V ≈ 20.9m/s

پس اندازهٔ سرعت جسم هنگام برخورد با زمین تقریباً 20.9 متر بر ثانیه است.

مسیر حرکت پرتاب افقی چگونه بوجود می‌آید؟

در پرتاب افقی، جسم همزمان دو حرکت انجام می‌دهد:

x = v₀t

y = – ½ gt²

از معادلهٔ افقی می‌توان زمان را به دست آورد:

این رابطه را در معادلهٔ عمودی قرار می‌دهیم:

پس:

این معادله، مسیر حرکت جسم را در مختصات کمیات وضعیه که مبدأ آن نقطهٔ پرتاب است، نشان می‌دهد.

چون در این رابطه، با مربع متناسب است، مسیر جسم پارابول است.

اگر مقاومت هوا ناچیز باشد، شکل مسیر به سرعت اولیه و شتاب جاذبه بستگی دارد.

در این ویدیو نیز به تشریح و تجربه عملی پرتاب افقی پرداخته شده است.

خلاصه درس:

فرمول‌های مرتبط با حرکت پرتاب افقی