یکی از مفاهیم اساسی در ریاضیات پایه، موضوع (اتحاد، تقاطع و تفاضل) ست‌ها می‌باشد که با استفاده از مفاهیم آن‌ها میتوان برای تجزیه و تحلیل اکثر مسایل پرداخت.

ما در این درس تلاش می‌کنیم تا یاد بگیریم چی قسم بین گروه‌ها ارتباط برقرار سازیم، شباهت ها را پیدا کنیم و تفاوت ها را کشف نماییم. درین درس به موارد ذیل پرداخته شده است:

• اتحاد ست‌ها
• تقاطع ست‌ها
• تفاضل ست‌ها

برای بهتر واضح شدن موضوع در صنف فعالیت ذیل را با شاگردان انجام می‌دهیم:

فرض کنید شما و دوستانتان یک لیست از برنامه های تلویزیونی دارید. شما چند برنامه را تماشا می کنید و دوست شما هم چند برنامه دیگر را، اگر بخواهید بدانید که کدام برنامه ها مشترکاً مورد علاقه هر دوی شما هستند، از مفهوم تقاطع ست‌ها استفاده می‌کنید، به همین ترتیب اگر بخواهید تمام برنامه هایی را که یا شما یا دوستان شما تماشا می‌کنید شناسایی کنید، از اتحاد ست‌ها بهره می برید.

گاهی اوقات تصویری واضح از اتحاد و تقاطع ست‌ها می‌تواند مفاهیم ریاضی را روشن تر و جذاب تر سازد. استفاده از دیاگرام وِن به طور ویژه می تواند به شاگردان کمک کند تا این مفاهیم را بصری درک کنند.

دیاگرام وِن (Venn Diagram) نموداری است که با استفاده از دایره‌های هم‌پوشان، روابط میان مجموعه‌ها و اشتراک‌ها، تفاوت‌ها و زیرمجموعه‌های آن‌ها را به‌صورت بصری نشان می‌دهد.

در این دیاگرام ست A به عنوان ست فرعی B از ست نمایش داده شده است.

معلم روی تخته صنف برای اتحاد ست‌ها یک دایره را به عنوان ست از علاقه‌مندی‌ها برای گروه اول رسم نماید و دایره دیگری برای گروه دوم. سپس بخش های مشترک و غیر مشترک این دو دایره را با رنگ های مختلف نشان دهد. این تصویر به وضوح می‌تواند توضیح دهد که اتحاد به چه معناست. برای تقاطع نیز می تواند بخشی را که دو دایره به هم می رسند و اشتراک دارند، به نمایش بگذارد.

گروه A علاقه‌مند بازی‌های: فوتبال، والیبال، تینس، دوش و کریکیت می‌باشد.

گروه B علاقه‌مند بازی‌های: بایسکیل رانی، آب بازی، فوتبال و والیبال می‌باشد.

دیده می شود که این دو گروه در دو بازی با هم اشتراک دارند (فوتبال و والیبال).

معلم  می‌تواند مثالی دیگری را با شاگردان به این شکل در میان بگذارد، فرض کنید: شما قصد دارید خرید کنید و به دو فروشگاه مختلف می روید، در فروشگاه اول چند کالای مورد نیاز شما و در فروشگاه دومی برخی دیگر از کالاهای مورد نیاز شما موجود اند، اگر بخواهید بدانید که کدام کالاها را درهر دو فروشگاه موجود اند، می‌توانید پیدا کنید (تقاطع) و کدام ها را می توانید از هر دو خریداری کنید (اتحاد)، به همین شکل موضوع اتحاد و تقاطع ست‌ها واضح تر می‌شود. همچنان از شاگردان سوالی به این شکل پرسیده شود: لیست کتاب های که دارید و کتاب های را که قبلاً خوانده اید، کدام کتاب‌ها باقی مانده که هنوز نخوانده اید؟ این دقیقاً همان مفهوم تفاضل ست‌ها است.

اتحاد ست‌ها

اتحاد ست‌ها عبارت از ست است که از عناصر چند ست تشکیل شده باشد. فرضاً ست A={1,2,3,4} و B={a,b,c,d,e} داده شده باشند اتحاد این دو ست به شکل  نشان AUB={1,2,3,4,a,b,c,d,e} داده می شود. اتحاد ست‌ها را به حرف بزرگ U که از کلمه Union گرفته شده است نشان میدهند.

مثال: فرضاً ست A شاگردانی که فوتبال بازی می‌کنند و ست B شاگردانی که بسکتبال بازی می‌کنند AUB به چی معناست؟

جواب: AUB ست تمام دانش شاگردانی را نشان می‌دهد که فوتبال یا بسکتبال بازی می‌‌کنند.

مثال1: فرضاً ست‌های A={x,y,z} و B={y,z} داده شده باشند اتحاد آنها به صورت AUB={y,z} نشان داده می‌شود.

این مثال را در دیاگرام وِن قرار ذیل نشان می‌دهیم:

مثال2: هرگاه ست‌های A={1,2,3,4,5} و B={2,3} داده شده باشند دیده می‌شود که تمام عناصر ست B  در ست A نیز وجود دارد از اینجا گفته می‌توانیم که ست B یک ست فرعی از ست A می باشد.

حالا می‌خواهیم تقاطع این دو ست را پیدا نماییم، تقاطع یعنی عناصری که هم در ست A و هم در ست B قرار داشته باشند.

– عدد 2 در هر دو ست است.

– عدد 3 در هر دو ست است.

– اعداد 1,4,5 در ست B نیستند.

پس: A∩B={2,3}

اما ست {2,3} همان ست B است، بنا بر این A∩B={2,3}=B

در نتیجه: هرگاه یک ست کاملاً در داخل ست دیگر باشد ( یعنی B ست فرعی A باشد) تقاطع آن دو ست برابر با ست کوچکتر است. پس اگر B⊂A باشد آنگاه A∩B=B است. دلیل اش این است که تمام عناصر ست B از قبل در ست A وجود دارند، پس عناصر مشترک چیزی جز خود ست B نخواهد بود.

مثال مذکور را در دیاگرام ون قرار ذیل نشان داده می‌توانیم:

تقاطع ست‌ها

عبارت از ست است که از عناصر مشترک این ست‌ها بدست می آید. فرضاً ست‌های A={a,b,c,d} و B={c,d,e,f,g} داده شده باشند، تقاطع آنها به صورت A∩B={c,d} می‌باشد.

این مثال را در دیاگرام ون قرار ذیل نشان میدهیم:

تفاضل ست‌ها

عبارت از ست عناصری است که در ست A هستند ولی در ست B نیستند و به آن تفاضل A از B می‌گوییم که به صورت A-B نشان می‌دهیم.

فرضاً: علی، مریم، رضا و سارا شاگردان صنف ریاضی هستند که آنها را به A و همچنان مریم، سارا، امیر و فاطمه شاگردان صنف کیمیا را به B نشان دهیم. حال می‌خواهیم دانش شاگردانی را پیدا نماییم که در صنف ریاضی هستند اما در صنف کیمیا نیستند. برای حل این مثال از شاگردان صنف ریاضی شاگردان صنف کیمیا را تفریق می نماییم.

ست شاگردان صنف ریاضی:

A={علی، مریم، رضا، سارا}

ست شاگردان صنف کیمیا:

B = {امیر، مریم، فاطمه، سارا}

در نتیجه:

A – B = {علی، رضا }

این تفاصل را توسط دیاگرام وِن قرار ذیل نشان داده می‌توانیم:

در این ویدیو نیز به تشریح مفاهیم: اتحاد، تقاطع و تفاضل ست‌ها پرداخته شده است.